Apie didįjį matematiką Archimedą pasakojamas gerai žinomas anekdotas. Ruošdamasis išsimaudyti, jis staiga suprato, kad vandens tūris, išstumtas jam panardinant kūną į vonią, yra lygus jo panardintos kūno dalies tūriui. Sujaudintas netikėto atradimo, Archimedas neva iššoko iš vonios, nuogas bėgiojo gatvėmis ir šaukė. Eureka– „Radau tai (sprendimą).
Šią istoriją nupasakojo beveik 200 metų po tariamo romėnų rašytojo Vitruvijaus įvykio, kurį dabar, kaip manoma, daugiausia sugalvojo jis. Nesvarbu, ar tai tiesa, ar ne, ji apima tai, kaip atsitiktinai atrandami neakivaizdžių problemų sprendimai ir kaip tai sukelia unikalų pakylėjimą, dabar vadinamą Eurekos efektu.
Psichologijoje atlikta daug šio poveikio, dar vadinamo Aha efektu, tyrimų. Bet kiekvienas gali tai konkrečiai patirti darydamas matematikos galvosūkius. Tam reikia tokio paties mąstymo, kokį demonstruoja matematikai ir mokslininkai; kaip tokie, jie rodo, kad jį turi visi, nesvarbu, kas jie būtų.
Vienas seniausių egzistuojančių matematinių tekstų, vadinamasis Už papiruso, datuojamas iki 1650 m. pr. m. e. (metai, kuriais jis buvo nukopijuotas), iki šių dienų įvairiais laipsniais sukuria Eurekos efektą su daugeliu iš daugiau nei 80 problemų ir galvosūkių. Tai parodė, kad matematika buvo skirta atrasti neakivaizdžius modelius, kurie papiruso pratarmėje vadinami „neaiškiomis paslaptimis“.
Velionis Martinas Gardneris puikiai pademonstravo šį efektą šiuolaikinei auditorijai savo intriguojančia knyga, Aha! Įžvalga! Gardneris tvirtai tikėjo, kad matematikos galvosūkiai yra pagrindinė matematikos mokymo priemonė. Reikia pažymėti, kad Už papiruso buvo sukurtas kaip mokyklinis tekstas Egipto matematikos studentams.
10 mano pasirinktų galvosūkių (greičiausiai) sukels Eureka efektą. Daugumą jų pritaikiau iš klasikinių galvosūkių kolekcijų, modifikuodamas patogumo ir iliustracijos sumetimais.
Mane šie galvosūkiai ypač intriguoja tai, kad jie niekada nepraranda savo patrauklumo ar paslaptingumo. Kiekvieną kartą, kai po kurio laiko grįžtu prie jų, turiu juos išsiaiškinti iš naujo, tarsi niekada nebūčiau jų išsprendęs. Nesu tikras, kodėl taip yra. Vienas dalykas aiškus: jie miniatiūriniu būdu parodo, kad atradimas prasideda atsižvelgiant į tai, kas nėra akivaizdu. Kaip kartą rašė škotų matematikas Ericas Temple’as Bellas: „Akivaizdus yra pats pavojingiausias matematikos žodis“.
Galvosūkiai
1. Pradėkime nuo galvosūkio, pritaikyto iš Už papiruso.
Žemiau yra turto inventorius:
namai 7
katės 49
pelės 343
kviečių gabalai 2 401
hekatų grūdų 16 807
turtas 19 607
Pirmieji penki skaičiai reiškia septynių laipsnius iš eilės: 7 = 7149 = 72343 = 732 401 = 74ir 16 807 = 75. Tačiau paskutinis skaičius – 19 607 – ne. Kaip jis telpa?
2. Pasaka apie vokiečių matematiką Karlą Friedrichą Gaussą, kuriam tebuvo devyneri metai, kai jis tariamai sužavėjo savo mokytoją tam tikrą JG Büttnerį savo išskirtiniais matematiniais sugebėjimais. Vieną dieną jo klasės buvo paprašyta sudėti visų skaičių sumą nuo vieno iki šimto: 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = ? Gaussas per kelias sekundes pakėlė ranką ir teisingai atsakė 5050, nustebindamas tiek savo mokytoją, tiek kitus mokinius, kurie ir toliau triūsė dėl didžiulės aritmetinės užduoties. Kaip Gaussas tai padarė? Nors tai nėra galvosūkis įprasta prasme, jis aiškiai parodo, kaip veikia „Eurekos protas“.
3. Šis galvosūkis yra iš klasikinės kolekcijos, 5000 galvosūkių ciklopedija, kurį sukūrė Samas Loydas (1841–1911), vienas didžiausių visų laikų galvosūkių kūrėjų ir vienas mano mėgstamiausių. Aš jį gerokai supaprastinau nuo originalo, (tikiuosi) išlaikęs Eurekos formą.
Šaudymo iš lanko varžybose tam tikra jauna moteris atsiėmė pirmąją vietą. Kiekvienas iš jos atskirų taškų į taikinį buvo 16 arba 17 taškų. Iš viso surinkti 100 taškų. Ar galite išsiaiškinti, kiek strėlių ji turėjo panaudoti, kad įvykdytų žygdarbį?
4. Šis galvosūkis yra beveik toks pat kaip aukščiau pateiktas nekilnojamojo turto galvosūkis. Tačiau tai atrodo kaip populiarus XVII amžiuje populiarus anglų vaikų rimas. Įdėjau jį čia dėl šio neįtikėtino sutapimo ir palieku tai. Beje, dėlionės formuluotėje yra gudrybė.
Kai ėjau į Sent Ivesą
Sutikau vyrą su septyniomis žmonomis.
Kiekviena žmona turėjo septynis maišus,
Kiekviename maiše buvo septynios katės,
Kiekviena katė turėjo septynis rinkinius.
Rinkiniai, katės, maišai, žmonos,
Kiek jų ėjo į Sent Ivesą?
5. Tai vienas žinomiausių visų laikų galvosūkių. Aš nuolat rašiau apie galvosūkių prigimtį, nes tai parodo, kaip kai kurie galvosūkiai naudoja spąstus, kad suklaidintų mus ieškant atsakymo. Nesu tikras, koks yra jo pirminis šaltinis. Konkreti žemiau pateikta versija (šiek tiek pritaikyta) pasirodė aritmetikos vadovėlyje, kurį parašė Christoffas Rudolfas ir išleido Niurnberge 1561 m. Tačiau yra ir pirmtakų. To paties tipo galvosūkis su skirtingomis detalėmis yra trečiajame Fibonačio skyriuje Liber Abaci 1202 m.
Sraigė yra 30 pėdų šulinio apačioje. Kiekvieną dieną jis pakyla 3 pėdas aukštyn ir nuslysta 2 pėdas atgal. Sraigė gali prilipti prie šulinio sienelių, todėl dienos pabaigoje nenuslysta į dugną, kai sustoja pailsėti. Kurią dieną tokiu greičiu jis pasieks šulinio viršūnę ir išlįs?
6. Nesu tikras, koks yra šio kito galvosūkio šaltinis. Apsidairęs aplinkui, aptikau kai kuriuos paminėjimus, kad jis atsirado MIT 1940-ųjų pradžioje, nors to patvirtinti negalėjau. Nuo septintojo dešimtmečio jis išpopuliarėjo kaip galvosūkių knygų elementas.
Surašytojas klausia gyventojos apie jos vaikus. Gyventoja sako: „Turiu tris vaikus. Jų amžiaus produktas yra trisdešimt šešeri. Jų amžiaus suma yra skaičius ant mano namų vartų. Surašytojas sako, kad to informacijos nepakanka. Tačiau moteriai pasakius: „Mano vyriausias vaikas susirgo tymais“, surašytojas tai išsiaiškina. Koks yra vaikų amžius?
7. Žemiau yra žinomas amžiaus galvosūkis, kurį sugalvojo ne senovės matematikas Diofantas, nepaisant to, kad tai apie jį. Jis buvo aptiktas ankstyvųjų viduramžių rinkinyje, vadinamame Graikų antologija, kurį istorikai priskiria graikų poetui, matematikui ir gramatikui Metrodorui (apie 500 m. e. m. e.). Įdomu tai, kad daugelis antologijos galvosūkių yra identiški tiems, kurie rasti antologijoje Už papiruso:
Diofanto vaikystė truko 1/6 jo gyvenimo; jis vedė dar po 1/7; jam barzda išaugo dar po 1/12, o sūnus gimė po 5 metų; sūnus gyveno iki pusės tėvo amžiaus, o tėvas mirė praėjus 4 metams po sūnaus. Kiek Diofantui buvo metų, kai jis mirė?
8. Šis kitas galvosūkis randamas visuose matematikos vadovėliuose ir galvosūkių antologijose. Priežastis gali būti ta, kad tai parodo, kaip mes kartais nematome to, kas akivaizdu. Taigi, kalbant, tai yra savotiškas atvirkštinės psichologijos galvosūkis.
Kokie du sveikieji skaičiai (ne trupmenos) sudaro skaičių 23, padauginus juos kartu?
9. Šis kitas galvosūkis verčia mus apmąstyti santykį tarp simbolių ir matematikos, kurią semiotikai (kaip ir aš) visą laiką tyrinėja. Jis randamas visų rūšių matematikos vadovėliuose ir galvosūkių knygose.
Kokį matematikos simbolį galima įdėti tarp 5 ir 7, kad gautumėte skaičių, kuris yra didesnis nei 5, bet mažesnis nei 7?
10. Didysis britų galvosūkių kūrėjas Henry E. Dudeney (1857-1930) sukūrė daugybę matematikos galvosūkių žanrų. Vienas iš jų yra šeimos santykių išsiaiškinimas. Žemiau esantis, kuris nėra Dudeney, patenka į šią rubriką. Aš negalėjau rasti jo giminės; bet jis yra visur matematikos vadovėliuose ir galvosūkių rinkiniuose.
Alkanas Horacijus naršė savo šeimos nuotraukų albumą, kuriame yra jo tėvų, senelių ir kiekvieno proproproprosenelio nuotrauka. Kiek tai nuotraukų?
Atsakymai
1. Tai reiškia šių skaičių sumą: 7 + 49 + 343 + 2 401 + 16 807 = 19 607. Taigi tai yra bendra turto vertė.
2. Skaičių sekoje nuo 1 iki 100, sudėjus pirmąjį skaičių prie antrojo paskutinio, antrąjį prie trečiojo ir t.t., gausime 49 poras, kurios sumuojasi iki šimto: 1 + 99 = 100 , 2 + 98 = 100, 3 + 97 = 100 ir taip toliau iki 49 + 51 = 100. Tai sudaro 4900. Skaičius 50, būdamas viduryje, stovi vienas, kaip ir 100, stovintis gale. Pridėjus 50 ir 100 prie 4900 gaunama 5050.
3. Šešios rodyklės, atsižvelgiant į tai, kad vienintelis balų pridėjimas pridedant…
